Voici la définition des développements limités.

Définition : Définition 1

Soit définie sur un voisinage pointé de , noté . On dit que possède un développement limité à l'ordre en , si

  1. il existe un polynôme de degré inférieur ou égal à ;

  2. il existe une fonction définie sur , vérifiant , tels que :

;

est appelé partie principale, et reste, du développement limité.

Comment peut-on reconnaître l'ordre d'un développement limité donné ? Ce n'est pas en regardant le degré du polynôme, car la connaissance de ne permet pas de connaître ... C'est en regardant l'exposant de dans le reste ; et c'est pour cela que l'écriture correcte du reste est essentielle.

Par exemple (il est sous-entendu que ) est un développement limité à l'ordre (et non pas à l'ordre ).