On développe aux ordres 1, 2 : les développements sont les mêmes.

On voit que la droite est une tangente commune en . A l’ordre 3, les développements de et sont différents, mais et ont encore le même développement. Ce développement à l’ordre 3 permettoutefois de placer les courbes par rapport à leur tangente commune.

On voit que , et sont toujours au dessus de leur tangente, que pour on a et pour , . Par contre cette étude ne suffit pas pour avoirs la position relative de et .

Il faut aller jusqu’à l’ordre 5 pour différencier et .

A l'ordre 5 :

On a donc pour , et pour , . Toutefois, il faut bien comprendre la signification en terme d’ordre de grandeur de ces résultats. Ici encore, avec un logiciel de calcul formel traçons toutes ces courbes et voyons les graphes.

Observation :

Si on trace le graphe des trois fonctions en noir, en bleu et en rouge entre et , on ne distingue que et .

Comme on ne voit pas on vérifie en la traçant seule.

On développe aux ordres 1, 2 : les développements sont les mêmes. Les trois courbes ont la même tangente.

Sur un même graphique, on trace en noir, en bleu, en rouge et la tangente commune en vert.

A l’ordre 3, les développements de et sont différents, mais et ont encore le même développement. Il faut aller à l’ordre 5 pour différencier et .

A l'ordre 5 :

Ces ordres de grandeurs expliquent pourquoi sur le même graphique on ne peut pas distinguer en même temps les trois fonctions.

Nous allons maintenant essayer de comprendre en comparant les ordres de grandeurs des différences. Sur chacun des graphiques, observez les courbes qui apparaissent et les ordres de grandeurs des valeurs de .

Sur un même graphe on a tracé en noir, en bleu, en vert. Seule la première courbe est visible. Pourquoi ?

Sur un même graphe on a tracé en bleu, en vert.

Seule la courbe bleue est visible.

Essayons sur un autre graphique la différence en vert ; comparez les ordres de grandeurs des par rapport au graphe précédent.