Développements limités

Représentation graphique
Allure locale d'une branche infinie
Notion de direction asymptotique, de branche parabolique horizontale ou verticale
Directions asymptotiques obliques
Développements limités et droites asymptotes
Notion de parabole asymptote

Voyons comment les développements limités permettent de préciser l'allure locale du graphe d'une fonction, en particulier en donnant une tangente, et la position du graphe par rapport à cette tangente.

Considérons une fonction f définie au voisinage d'un x0 ∈ . On a vu qu'il est équivalent de dire que f (ou son prolongement en x0) est dérivable en x0 ou de dire que f admet un développement limité à l'ordre 1 (au moins). Nous supposerons cette condition réalisée, et nous noterons a0 = f(x0) et a1 = f '(x0).

On sait que le graphe G de f admet alors une tangente D en x0, d'équation

y = a0 + a1 (x - x0).


Fig.1 - courbe et tangente

Supposons de plus qu'il existe un entier p ≥ 2 tel que f admette un développement limité à l'ordre p, de la forme

f(x) = a0 + a1 (x - x0) + ap (x - x0) p + (x - x0) p ε (x) avec ap ¹ 0,

c'est-à-dire que tous les cœfficients ak sont nuls pour 1 < k < p, et ap non nul ; on dit que c'est le premier développement limité significatif de f.

Alors le signe de ap donne la position de G par rapport à la droite D.

Pour le voir, il suffit d'écrire le développement limité précédent sous la forme

f(x) - y = (x - x0) p (ap + ε (x)).

Vu que limxx0 ε (x) = 0, le signe de la parenthèse (ap + ε (x)) est au voisinage de x0 le même que celui de ap (il suffit d'utiliser la définition de la limite).

D'autre part, le signe de (x - x0) p est :

Ainsi, on connaît localement le signe de f(x) - y, c'est-à-dire la position locale du graphe de f par rapport à la tangente D :

Représentation graphique

Rappelons qu'on considère une fonction f définie sur un voisinage de x0, admettant au voisinage de x0 un développement limité du type

f(x) = a0 + a1 (x - x0) + ap (x - x0) p + (x - x0) p ε (x) avec p ≥ 2 et ap ¹ 0.

Suivant la parité de p et le signe de ap, on obtient quatre cas de figure (figures 2 à 5).


Fig 2. - p pair et ap > 0 : au voisinage de x0, G est au dessus de D.


Fig 3. - p pair et ap < 0 : au voisinage de x0, G est au dessous de D.

Il n'est pas nécessaire de retenir par coeur ces différents cas ; il est par contre indispensable de savoir mettre en oeuvre la méthode utilisée.


Fig. 4 - p impair et ap > 0 : au voisinage de x0, G est au dessus de D pour x > x0 et au dessous pour x < x0.


Fig. 5 - p impair et ap < 0 : au voisinage de x0, G est au dessous de D pour x > x0 et au dessus pour x < x0.

Exemple On cherche l'allure locale de graphe G de f(x) = exp(- 1 + x + x 3 + cos x) au voisinage du point M0 = (0 , e). Le premier développement limité significatif de f en 0 est celui à l'ordre 3 :

On en déduit :

  1. la tangente D à G au point M0 a pour équation y = 1 + x ;

  2. au voisinage de 0, on a sg(f(x) - y) = sg(2/3 x 3), d'où :

D'où l'allure locale de G en M0.


Fig. 6 - allure locale en 0 de exp(- 1 + x + x 3 + cos x)

Allure locale d'une branche infinie

On considère f : ]α , β[ → , avec β ∈  ou β = + ∞ ; on note toujours G le graphe de f et M(x) le point de coordonnées (x , f(x)).

Remarque : nous ferons l'étude du comportement de la courbe au voisinage de b ; les notions sont analogues au voisinage de a ; on se ramène à l'étude en b en changeant x en x.

Définition 4

On dit que G présente une branche infinie en b dans chacun des deux cas suivants :
  1. β = + ∞ ;

  2. ou f est non bornée au voisinage de b.

On a, en particulier, une branche infinie lorsque la distance de l'origine O à M(x) tend vers + ∞ lorsque x tend vers b ; ce n'est pas toujours le cas, par exemple :


Fig. 7 - une branche infinie atypique

Dans la suite nous envisagerons l'un des cas particuliers :

β = + ∞ ou limx → β f(x) = + ∞ ou limx → β f(x) = - ∞

Les deux situations suivantes sont bien connues

  1. β = + ∞ et limx → + ∞ f(x) = l ∈  : la droite d'équation y = l est asymptote horizontale ;

  2. β ∈ et limx → β f(x) = + ∞ ou limx → β f(x) = - ∞ ; la droite y = β est asymptote verticale.

Notion de direction asymptotique, de branche parabolique horizontale ou verticale

Nous sommes dans les cas suivants : β = + ∞ et (limx → + ∞ f(x) = + ∞ ou limx → + ∞ f(x) = - ∞).

Pour préciser l'allure de la branche infinie, nous étudierons le comportement de la droite OM(x) lorsque x tend vers + ∞, donc le comportement de la pente de cette droite :

Pour ce qui concerne limx → + ∞ il y a trois cas possibles :

  1. limx → + ∞  = p ∈ 

  2. limx → + ∞  = + ∞ ou limx → + ∞  = - ∞

  3. limx → + ∞  n'existe pas.

Nous ne nous occuperons du troisième cas, mais nous allons baptiser les deux premières situations.

Définition 5

On dit que la branche infinie de G en β = + ∞, présente :
  1. une direction asymptotique de pente p lorsque limx → + ∞  = p ; si p = 0, la direction asymptotique est dite horizontale ;

  2. une direction asymptotique verticale lorsque limx → + ∞  = + ∞ ou
    limx → + ∞  = - ∞


Fig. 8 - direction asymptotique de pente p


Fig. 9 - direction asymptotique horizontale


Fig. 10 - direction asymptotique verticale

Les branches infinies des figures 9 et 10 ont des allures de parabole, nous les appellerons branches paraboliques.

Directions asymptotiques obliques

Supposons toujours β = + ∞ et limx → + ∞ f(x) = + ∞ ou limx → + ∞ f(x) = - ∞ et supposons de plus que limx → + ∞  = p ∈ , autrement dit, G admet une direction asymptotique de pente p.

Pour préciser l'allure de la branche infinie, il est naturel de s'intéresser au comportement (en + ∞) de (f(x) - px).

Là encore , il y a trois cas possibles :

  1. limx → + ∞ (f(x) - px) = q ∈  ;

  2. limx → + ∞ (f(x) - px) = + ∞ ou limx → + ∞ f(x) -px = - ∞ ;

  3. limx → + ∞ (f(x) - px) n'existe pas.

Nous "laissons tomber" le troisième ; intéressons nous d'abord au premier : écrivons la relation sous la forme limx → + ∞ (f(x) - (px + q)) = 0, et notons Γ1 la droite d'équation y = px + q ; ainsi la distance de M(x) au point de Γ1 d'abscisse x, tend vers 0 lorsque x tend vers + ∞ : la droite Γ1 est asymptote à G


Fig. 11 - asymptote oblique

Pour ce qui concerne le deuxième cas, limx → + ∞ f(x) - px = + ∞ ou limx → + ∞ f(x) - px = - ∞, la branche infinie de G a une allure de parabole, nous l'appellerons donc branche parabolique.

Définition 6

On dit que la branche infinie de G en + ∞ est :
  1. une branche parabolique de pente p, si elle admet une direction asymptotique de pente p et si limx → + ∞ (f(x) - px) = + ∞ ou limx → + ∞ (f(x) - px) = - ∞ ; lorsque p = 0, la branche parabolique est dite horizontale ;

  2. une branche parabolique verticale si limx → + ∞  = + ∞ ou
    limx → + ∞  = - ∞

En résumé :


si limx → + ∞ (f(x) - px) = p ∈  : direction asymptotique de pente p (horizontale si p = 0) ;
plus précisément :
si limx → + ∞ (f(x) - px) = q : la droite y = px + q est asymptote à G ;
si limx → + ∞ (f(x) - px) = + ∞ ou limx → + ∞ f(x) - px = - ∞ : branche parabolique de pente p (horizontale si p = 0) ;
si limx → + ∞ (f(x) - px) n'existe pas : pas de nom particulier ;
si limx → + ∞  = + ∞ ou limx → + ∞  = - ∞ : branche parabolique verticale ;
si limx → + ∞  n'existe pas : pas de nom.

Développements limités et droites asymptotes

Plaçons nous dans le cas où la branche infinie admet une direction asymptotique de pente p (p ¹ 0), c'est-à-dire où limx → + ∞  = p. En termes de développement limité, cette propriété se traduit, de manière équivalente, en disant que φ(x) =  possède un développement limité à l'ordre 0 en + ∞.

Réciproquement, supposons que j possède des développements limités à des ordres suffisamment grands ; nous allons voir comment la lecture du premier développement limité significatif d'ordre n ≥ 2 met en évidence :

Ecrivons le premier développement limité significatif d'ordre n ≥ 2 de j en + ∞ :

soit en multipliant par x :

Interprétons cette dernière relation comme suit :

Exemple : branche infinie en + ∞ de

La fonction φ(x) = possède en + ∞ des développements limités à tout ordre ; écrivons celui à l'ordre 2 (il sera "significatif") :

d'où :

La droite Γ1, d'équation y = x - 1/3 est asymptote à la branche infinie ; au voisinage de + ∞, G est au dessous de Γ1.

Notion de parabole asymptote

On se place dans le cas où la branche infinie est une branche parabolique verticale, c'est-à-dire où limx → + ∞  = + ∞ ou limx → + ∞  = - ∞ ; nous allons, dans un cas particulier, préciser un peu plus l'allure de cette branche infinie.

Considérons y définie, au voisinage de + ∞, par ψ(x) =  ; nous supposons que y possède en ¥ des développements limités à des ordres suffisamment grands. Ecrivons le premier développement limité significatif à l'ordre n ≥ 3 de y en + ∞ :

soit en multipliant cette égalité par x 2 :

Interprétons cette dernière relation comme précédemment :

Exemple : branche infinie en + ∞ de f(x) = x 2 e 1/x.

limx → + ∞ = + ∞ ; la branche infinie est une branche parabolique verticale. D'autre part ψ(x) =  possède en + ∞ des développements limités à tout ordre ; on écrit celui à l'ordre 3 :

d'où

La parabole Γ2, d'équation y = x 2 + x + 1/2 , est asymptote à la branche infinie ; au voisinage de + ∞, G est au dessus de Γ2.


Fig. 12 - branche parabolique de x 2 e 1/x et parabole asymptote