Sens des développements limités

Soit \(f\) définie sur un voisinage pointé de \(0\), noté \(V* (0)\). On dit que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en 0, si

1. il existe un polynôme \(P_n (x)\) de degré inférieur ou égal à \(n\) ;

2. il existe une fonction \(e\) définie sur \(V*(0)\), vérifiant \(lim_{x → 0}\) \(\epsilon (x) = 0\), tels que :

   \(f (x) = Pn (x) + x n \epsilon (x)\) ;

\(P_n\) est appelé partie principale, et \(x^n \epsilon (x)\) reste, du développement limité.

Comment peut-on reconnaître l'ordre d'un développement limité donné ? Ce n'est pas en regardant le degré du polynôme, car la connaissance de \(p ≤ n\) ne permet pas de connaître \(n\)... C'est en regardant l'exposant de \(x\) dans le reste \(x^n \epsilon (x)\) ; et c'est pour cela que l'écriture correcte du reste est essentielle.

Par exemple \(2 + 3 x - 7 x^3 + x^5 \epsilon (x)\) (il est sous-entendu que \(\lim_{x → 0}\) \(\epsilon (x) = 0\) ) est un développement limité à l'ordre 5 (et non pas à l'ordre 3).