Voici la définition des développements limités en ; on voit qu'elle généralise la définition 1 en , c'est-à-dire que si , on retrouve la même définition.

Définition

Soit définie sur un voisinage pointé de . On dit que possède un développement limité à l'ordre en , s'il existe :

  1. un polynôme de degré inférieur ou égal à ,

  2. une fonction définie sur ,

tels que : et .

Dans la pratique, pour étudier l'existence et pour fabriquer de tels développements limités, on effectue un changement de variable qui nous ramène en .

Plus précisément, on pose et ; la fonction est définie sur un voisinage pointé de et :

  1. la fonction possède un développement limité à l'ordre en si et seulement si la fonction possède un développement limité à l'ordre en ;

  2. si est le développement limité à l'ordre de en ,

alors est le développement limité à l'ordre de en .