Voyons comment les développements limités permettent de préciser l'allure locale du graphe d'une fonction, en particulier en donnant une tangente, et la position du graphe par rapport à cette tangente.
Considérons une fonction
définie au voisinage d'un
. On a vu qu'il est équivalent de dire que
(ou son prolongement en
) est dérivable en
ou de dire que
admet un développement limité à l'ordre 1 (au moins). Nous supposerons cette condition réalisée, et nous noterons
et
.
On sait que le graphe
de
admet alors une tangente
en
, d'équation
.
Supposons de plus qu'il existe un entier
tel que
admette un développement limité à l'ordre
, de la forme
f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_p(x-x_0)^p+(x-x_0)^p\epsilon(x) avec
,
c'est-à-dire que tous les cœfficients
sont nuls pour
, et
non nul ; on dit que c'est le premier développement limité significatif de
.
Alors le signe de
donne la position de
par rapport à la droite
.
Pour le voir, il suffit d'écrire le développement limité précédent sous la forme
.
Vu que
, le signe de la parenthèse
est au voisinage de
le même que celui de
(il suffit d'utiliser la définition de la limite).
D'autre part, le signe de
est :
positif si
est pair ;
positif pour
et négatif pour
si
est impair.
Ainsi, on connaît localement le signe de
, c'est-à-dire la position locale du graphe de
par rapport à la tangente
:
quand
,
est au dessus de
;
quand
,
est au dessous de
.