Branches infinies

Voyons comment les développements limités permettent de préciser l'allure locale du graphe d'une fonction, en particulier en donnant une tangente, et la position du graphe par rapport à cette tangente.

Considérons une fonction \(f\) définie au voisinage d'un \(x_0\in\mathbb R\). On a vu qu'il est équivalent de dire que \(f\) (ou son prolongement en \(x_0\)) est dérivable en \(x_0\) ou de dire que \(f\) admet un développement limité à l'ordre 1 (au moins). Nous supposerons cette condition réalisée, et nous noterons \(a_0=f(x_0)\) et \(a_1=f'(x_0)\).

On sait que le graphe \(\Gamma\) de \(f\) admet alors une tangente \(\Delta\) en \(x_0\), d'équation \(y=a_0+a_1(x-x_0)\).

Supposons de plus qu'il existe un entier \(p\ge2\) tel que \(f\) admette un développement limité à l'ordre \(p\), de la forme

f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_p(x-x_0)^p+(x-x_0)^p\epsilon(x) avec \(a_p\ne0\),

c'est-à-dire que tous les cœfficients \(a_k\) sont nuls pour \(1<k<p\), et \(a_p\) non nul ; on dit que c'est le premier développement limité significatif de \(f\).

Alors le signe de \(a_p\) donne la position de \(\Gamma\) par rapport à la droite \(\Delta\).

Pour le voir, il suffit d'écrire le développement limité précédent sous la forme

\(f(x)-y=(x-x_0)^p(a_p+\epsilon(x))\).

Vu que \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\epsilon(x)=0}\), le signe de la parenthèse \((a_p+\epsilon(x))\) est au voisinage de \(x_0\) le même que celui de \(a_p\) (il suffit d'utiliser la définition de la limite).

D'autre part, le signe de \((x - x_0)^p\) est :

• positif si \(p\) est pair ;

• positif pour \(x>x_0\) et négatif pour \(x<x_0\) si \(p\) est impair.

Ainsi, on connaît localement le signe de \(f(x)-y\), c'est-à-dire la position locale du graphe de \(f\) par rapport à la tangente \(\Delta\) :

• quand \(f(x)-y>0\), \(\Gamma\) est au dessus de \(\Delta\);

• quand \(f(x)-y<0\), \(\Gamma\) est au dessous de \(\Delta\).