Commentaire :

On constate que :

a une parabole aymptote d’équation . La différence entre les deux courbes est de signe opposé à (signe du terme ). Cela veut dire que la courbe est au dessus de la parabole asymptote quand tend vers et en dessous quand tend vers .

a une parabole asymptote d’équation et une étude analogue montre que que la courbe est au dessus de la parabole asymptote quand tend vers et en dessous quand tend vers .

a aussi une parabole asymptote d’équation , avec le même type de position entre courbe et parabole.

Par contre la courbe a une branche parabolique dans la direction de l’axe et n’a pas de parabole asymptote. Mais on peut remarquer que a une cubique asymptote d’équation , c’est à dire que la différence entre un point de la courbe associée à et cette cubique tend vers quand tend vers l’infini.

De plus cette différence est du signe de .

Quelle est la signification de ces propriétés ?

On a tracé sur un même graphe ces quatre fonctions à l’aide d’un logiciel de calcul formel, pour variant entre 2 et 20. Les fonctions sont tracées en noir, en bleu, en vert, en jaune. Sur le graphe seuls apparaissent une courbe en vert ayant une branche parabolique dans la direction de l’axe et une courbe en bleu, avec des valeurs de faibles. Pourquoi ? Quelle est la signification de ces tracés ? La seule courbe qui apparait est en fait celle qui s’appoche de la cubique. L’ordre de grandeur de est beaucoup plus grand que . Donc avec une même échelle déterminée par les valeurs de , les autres courbes n’apparaissent pas nettement.

Pour faire apparaitre les autres courbes, on représente seulement le tracé des fonctions en noir, en bleu, en jaune. On voit alors nettement que ces courbes ressemblent à des paraboles et on vérifie leurs positions respectives.