Barrières, pièges et entonnoirs
Définition :
Une barrière supérieure pour l'équation différentielle \(y' = f(x, y)\) est une fonction continue \(y = S(x)\), que les solutions ne peuvent pas traverser de bas en haut.
La fonction \(S\) n'est pas en général une solution de l'équation, mais elle canalise les solutions.
Plus précisément :
Définition :
Une fonction continue \(y = S(x)\) définie sur un intervalle \(I\) est une barrière supérieure sur cet intervalle pour l'équation \(y' = f(x, y)\) si, pour aucune solution \(u(x)\) de l'équation, il ne peut exister deux points \(x_0\) et \(x_1\) de \(I\), avec \(x_0 < x_1\), tels que l'on ait à la fois \(u(x_0) < S(x_0)\) et \(u(x_1) > S(x_1)\).
Remarque :
La situation inverse ( \(u(x_0) > S(x_0)\) et \(u(x_1) < S(x_1)\) ), en revanche, peut se présenter. Autrement dit, une solution peut traverser la barrière de haut en bas, mais jamais l'inverse.
Proposition :
Si \(S(x)\) est une fonction dérivable qui vérifie, pour tout \(x > a\), \(\displaystyle{S'(x) > f(x, S(x))}\), alors \(S(x)\) est une barrière supérieure pour \(y' = f(x, y)\) sur l'intervalle \(]a, + \infty[\).
Démonstration :
Soit \(u(x)\) une solution vérifiant \(u(x_0) < S(x_0)\) pour un \(x_0 > a\).
Montrons que, si \(x > x_0\) , \(S(x) - u(x) > 0\).
Si ce n'était pas le cas (donc si on avait \(\displaystyle{S(x) - u(x) \leq 0}\)), il y aurait des valeurs \(x'\) entre \(x_0\) et \(x\), pour lesquelles \(u(x') = S(x)\); soit alors \(x_1\) le plus petit réel supérieur à \(x_0\) tel que \(\displaystyle{S(x_1) - u(x_1) = 0}\).
Complément :
Les esprits sceptiques peuvent se demander si un tel \(x_1\) existe bien !
En voici la démonstration (un petit peu savante ) : Soit \(K\) l'ensemble des \(x'\) de \([x_0, x]\) tels que \(u(x') = S(x')\).
\(K\) est évidemment borné.
De plus, comme \(u(x_0) < S(x_0)\) et \(u(x) > S(x)\), \(K\) est non vide d'après le théorème des valeurs intermédiaires (\(u\) et \(S\) étant continues).
Enfin, \(K\) est l'ensemble des zéros de la fonction continue \(u - S\), donc \(K\) est fermé.
Finalement, \(K\) est un compact non vide de \(\mathbb R\), donc possède un plus petit élément : c'est le \(x_1\) cherché.
On a \(\displaystyle{S'(x_1) > f(x_1)}\), \(\displaystyle{S(x_1) = f(x_1, u(x_1)) = u'(x_1)}\) (puisque \(u\) est solution), donc \(\displaystyle{S'(x_1) - u'(x_1) > 0}\). Donc la fonction \(S(x) - u(x)\) est localement croissante en \(x_1\), ce qui est en contradiction avec le fait que \(S(x) - u(x)\) est positif sur \([x_0 , x_1[\) et nul en \(x_1\) .
Complément :
Il suffit d'appliquer à la fonction \(g(x) = S(x) - u(x)\) le résultat suivant :
Soit une fonction \(g\), dérivable, et vérifiant, pour un certain réel \(x_1\), \(g(x_1) = 0\) et \(g'(x_1) > 0\).
Alors, sur un certain intervalle \(\displaystyle{]x_1 - a, x_1 + a[ (a > 0)}\), \(g(x)\) est négatif à gauche de \(x_1\) et positif à droite de \(x_1\)
En effet, \(g'(x_1)\) est la limite quand \(h\) tend vers \(0\) de \(g(x_1 + h)/h\) et cette limite est positive, donc pour \(h\) assez petit, \(g(x_1 + h)\) est du même signe que \(h\).
Commentaire
L'inégalité \(\displaystyle{S'(x) > f(x, S(x))}\) signifie qu'en tout point du graphe, le champ de l'équation \(y' = f(x, y)\) a une pente inférieure à celle de la tangente au graphe de \(S\).
La solution passant par un point du graphe de \(S\) traverse donc ce graphe du dessus vers le dessous (c'est à dire qu'elle est au-dessus du graphe à gauche de ce point, en dessous à droite).
Il est alors clair graphiquement qu'une solution passant par un point \((x_0 , u(x_0))\) situé en dessous du graphe de \(S\) ne peut traverser ce graphe en un point d'abscisse \(x > x_0\), et donc reste en dessous de ce graphe.
La figure ci-dessous concerne l'équation \(y' = y 2 - x\).
La fonction \(\displaystyle{S(x) = x^{1/2}}\) est une barrière supérieure pour \(x > 0\), puisque \(\displaystyle{S'(x) = 1/2 x^{-1/2}}\) qui est positif pour \(x > 0\), alors que \(\displaystyle{f(x, S(x)) = (x^{1/2})^ 2 - x = 0}\), donc on a bien \(\displaystyle{S'(x) > f(x, S(x))}\) pour tout \(x > 0\).
On a tracé le graphe de \(S(x)\), et représenté le champ en quelques points de ce graphe. Observez comment le champ traverse ce graphe. Cliquez sur la figure pour faire tracer des solutions, et vérifiez la propriété définissant les barrières.
On définit de façon analogue les barrières inférieures, que les solutions ne peuvent traverser de haut en bas. Si \(I(x)\) est une fonction dérivable qui vérifie, pour tout \(x\), \(\displaystyle{I'(x) < f(x, I(x))}\), alors \(I(x)\) est une barrière inférieure pour \(y' = f(x, y)\).
Si, pour une même équation différentielle \(y' = f(x, y)\), on connait une barrière supérieure \(S(x)\) et une barrière inférieure \(I(x)\) et que l'on a, pour tout \(x\), \(I(x) < S(x)\), alors la zone située entre les graphes de \(I(x)\) et de \(S(x)\) est une zone piège : si le graphe d'une solution entre dans cette zone pour un certain \(x_0\), il y reste pour tous les \(x < x_0\).
Un cas particulièrement interessant est celui où \(S(x) - I(x)\) tend vers \(0\) si \(x\) tend vers \(+\infty\). On dit alors que la région comprise entre \(I(x)\) et\(S(x)\) forme un entonnoir : si le graphe d'une solution \(u(x)\) a un de ses points dans une telle zone, alors cette solution est définie jusqu'en \(+ \infty\), et \(S(x) - u(x)\) tend vers \(0\) si \(x\) tend vers \(+ \infty\) : on a ainsi un renseignement sur le comportement de \(u\) à l'infini.
La figure ci-dessous concerne encore l'équation \(y' = y^2 - x\). La fonction \(I(x) = - x^{1/2}\) est une barrière inférieure pour \(x > 0\), puisque \(I'{x} < 0\), alors que le champ est horizontal sur le graphe de \(I\), donc \(f(x, I(x)) = 0\). La fonction \(\displaystyle{S(x) = - (x - 1)^{ 1/2}}\) est définie et dérivable pour \(x > 1\), et la pente du champ sur le graphe de \(S\) est constante et vaut \(- 1\). Comme \(\displaystyle{S'{x} = - 1/(2(x-1)^{1/2})}\), \(S\) est une barrière supérieure pour \(x > 5/4\). On vérifie aisément que \(S(x) - I(x)\) tend vers \(0\) si \(x\) tend vers\(+ \infty\). Il en résulte que toutes les solutions qui pénètrent dans l'entonnoir (pour\( x > 5/4\)) sont définies jusqu'à \(+ \infty\), et sont équivalentes, à \(- x 1/2\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Observez comment l'entonnoir obtenu canalise les solutions.