a. Le graphe de ne peut pas croiser la droite , qui est graphe d'une solution. Comme , ce graphe reste en-dessous de la droite ,

donc dans une zone où  ; donc est bien croissante sur .

Pour les valeurs de restent bornées entre et  : donc par le théorème de prolongement, est définie pour tout  ; autrement dit la borne supérieure de est .

b. Pour , la fonction est monotone croissante et majorée (par ) donc elle admet une limite quand  ;

comme est majorée par , on a .

De plus, , donc quand , .

Et puisque , on a .

Si on avait , le graphe de aurait en une direction asymptotique de pente strictement positive , donc tendrait vers quand tend vers  : c'est impossible puisque est majorée par  ; donc forcément .

Mais alors, comme ,cela implique ou  ; la condition permet de déterminer que .

La fonction tend donc vers quand .