Pour que la droite d'équation passe par , il faut et il suffit que , donc que soit une solution (réelle !) de l'équation

.

Si , l'équation en se réduit à ; elle ne correspond à une tangente que si , donc .

Sinon, l'équation est du nd degré. La condition pour qu'une telle valeur réelle existe est que le discriminant, égal à , soit positif ou nul, soit ,

c'est à dire que le point soit situé entre les branches de l'hyperbole, ce qui correspond bien à l'intuition géométrique. De plus, si une des deux solutions est , il faudra l'exclure (ce cas correspond à l'asymptote , qu'on peut considérer comme une "tangente à l'infini").

On a donc les résultats suivants :

- si , pas de tangente ;

- si , une seule tangente ( est racine double, le point est sur ) ;

- si , deux tangentes, sauf dans les cas où et , ou bien et , où on a une seule tangente (correspondant à la solution non nulle de l'équation en ), ou encore si , où il n'y a pas de tangente (l'équation en se réduit à ).

La figure ci-dessous illustre géométriquement ces cas : du point on peut mener tangentes à ; des points , et , on ne peut en mener qu'une seule.

Équation différentielle : hyperbole