La fonction est définie par morceaux :

Sur l'intervalle , le graphe de est une portion de la tangente à au point d'abscisse : elle vérifie donc l'équation sur cet intervalle. Sur l'intervalle , le graphe de est une portion de l'hyperbole , et vérifie donc aussi l'équation . Les deux portions se raccordent au point .

Reste à examiner le cas du point lui-même : en ce point, la dérivée à gauche est (d'après la première équation de ) et, d'après sa deuxième équation, sa dérivée à droite est également .

Il en résulte que est dérivable en .

De plus, au point , on a

donc par conséquent l'équation est également vérifiée par au point .

Finalement, est solution de sur tout entier.

Une telle solution est tracée en rouge sur le dessin ci-dessous.

Remarque : il y a d'autres solutions passant par le point de d'abscisse : par exemple celle dont le graphe est la tangente, ou encore celle dont le graphe est une branche de l'hyperbole. Le théorème d'unicité ne s'applique donc pas en ce point, et d'ailleurs l'équation ne s'écrit pas sous la forme .

Équation différentielle : hyperbole