Travaux pratiques : étude de l'équation y" + 2y' + 5y = 0
Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre.
Son équation caractéristique est \(r^2 + 2r + 5 = 0\), qui admet les racines complexes \(- 1 ± 2i\).
Les solutions s'écrivent donc toutes \(y = e^{-x} (\alpha.cos(2x) + \beta.sin(2x))\).
La figure ci-dessous montre des solutions de l'équation vérifiant y(0) = 1
Les solutions tendent toutes vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+ ∞\). Elles présentent des oscillations dont l'amplitude tend vers l'infini quand \(x\) tend vers \(- ∞\)
Si l'on se donne la valeur \(y_0\) de la solution en \(x = 0\) et la valeur \(v_0\) de sa dérivée en \(x = 0\), on peut écrire la solution sous la forme \(y = e^{-x}[y_0 .cos x + (y_0 + v_0). sin x]\).
Dans l'animation suivante, vous pouvez choisir la solution que vous voulez tracer : cliquez sur un point initial \((x_0, y_0 = y(x_0))\) , puis, en laissant le bouton de la souris enfoncé, choisissez la pente \(p\) de la tangente en ce point, c'est à dire \(p = y'(x_0)\). La valeur de \(p\) s'affiche en bas de la page.
Vous verrez alors le graphe de l'unique solution vérifiant \(y(x_0) = y_0\),\( y'(x_0) = p\).