Structure d'espace vectoriel non classique sur R^2
Partie
Question
On considère dans \(\mathbb R^2\) non pas les opérations habituelles, mais la loi interne \(\bot\) et la loi externe \(*\) de domaine d'opérateurs \(\mathbb R\), définies par :
\((x_1,x_2)\bot(y_1,y_2)=(x_1+y_1+1,x_2+y_2+1)\)
\(\lambda*(x_1,x_2)=(\lambda x_1-(1-\lambda),\lambda x_2-(1-\lambda))\)
Montrer que \((\mathbb R^2,\bot,*)\) est un \(\mathbb R\)-espace vectoriel.
Aide simple
Par exemple, pour prouver l'existence de l'élément neutre pour la loi \(\bot\), rechercher \((y_1,y_2)\) vérifiant :
\(\forall(x_1,x_2)\in\mathbb R^2,~(x_1,x_2)\bot(y_1,y_2)=(x_1,x_2)\).
Aide méthodologique
On vérifie un à un tous les axiomes.
Aide à la lecture
Cet exercice est un exemple qui illustre la remarque faite dans le cours :
On peut munir un même ensemble, ici \(\mathbb R^2\), de plusieurs structures d'espace vectoriel en le munissant de lois "différentes".
Si on voulait être complètement cohérent dans les notations, il faudrait désigner un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) par un triplet formé de \(E\), de la loi interne et de la loi externe de domaine d'opérateurs \(\mathbf K\).
Solution détaillée
On vérifie donc les huit axiomes :
Axiomes relatifs à la loi interne
\(\begin{array}{rll}[(x_1,x_2)\bot(y_1,y_2)]\bot(z_1,z_2)&=&(x_1+y_1+1,x_2+y_2+1)\bot(z_1,z_2)\\&=&(x_1+y_1+1+z_1+1,x_2+y_2+1+z_2+1)\\&=&(x_1+y_1+z_1+2,x_2+y_2+z_2+2)\end{array}\)
Ces égalités sont dues aux propriétés de l'addition dans \(\mathbb R\).
\(\begin{array}{rll}(x_1,x_2)\bot[(y_1,y_2)\bot(z_1,z_2)]&=&(x_1,x_2)\bot(y_1+z_1+1,y_2+z_2+1)\\&=&(x_1+y_1+z_1+1+1,x_2+y_2+z_2+1+1)\\&=&(x_1+y_1+z_1+2,x_2+y_2+z_2+2)\end{array}\)
Donc \([(x_1,x_2)\bot(y_1,y_2)]\bot(z_1,z_2)=(x_1,x_2)\bot[(y_1,y_2)\bot(z_1,z_2)]\).
Cette égalité, vraie pour tous éléments \((x_1,x_2)\), \((y_1,y_2)\), \((z_1,z_2)\) de \(\mathbb R^2\), exprime l'associativité de la loi \(\bot\).
Il est immédiat que \((x_1,x_2)\bot(y_1,y_2)=(y_1,y_2)\bot(x_1,x_2)\).
Cette égalité, vraie pour tous éléments \((x_1,x_2)\), \((y_1,y_2)\) de \(\mathbb R^2\), exprime la commutativité de la loi \(\bot\).
On cherche donc un élément \((y_1,y_2)\) de \(\mathbb R^2\) vérifiant :
pour tout élément \((x_1,x_2)\) de \(\mathbb R^2\), \((x_1,x_2)\bot(y_1,y_2)=(x_1,x_2)\).
Ceci équivaut à \(x_1+y_1+1=x_1\) et \(x_2+y_2+1=x_2\).
Donc le couple \((-1,-1)\) convient. C'est l'élément neutre de la loi \(\bot\).
Soit un élément \((x_1,x_2)\) de \(\mathbb R^2\), on cherche un élément \((y_1,y_2)\) de \(\mathbb R^2\) vérifiant
\((x_1,x_2)\bot(y_1,y_2)=(-1,-1)\) c'est-à-dire \(x_1+y_1+1=-1\) et \(x_2+y_2+1=-1\).
Donc le couple \((-x_1-2,-x_2-2)\) convient.
C'est l'élément symétrique de \((x_1,x_2)\) pour la loi \(\bot\).
Axiomes relatifs à la loi externe
Soient les réels \(\lambda\) et \(\mu\), et un élément \((x_1,x_2)\) de \(\mathbb R^2\).
\((\lambda\mu)*(x_1,x_2)=(\lambda\mu x_1-1+\lambda\mu,\lambda\mu x_2-1+\lambda\mu)\) et
\(\begin{array}{rll}\lambda*[\mu*(x_1,x_2)]&=&\lambda*(\mu x_1-1+\mu,\mu x_2-1+\mu)\\&=&(\lambda(\mu x_1-1+\mu)-1+\lambda,\lambda(\mu x_2-1+\mu)-1+\lambda)\\&=&(\lambda\mu x_1-\lambda+\lambda\mu-1+\lambda,\lambda\mu x_2-\lambda+\lambda\mu-1+\lambda)\\&=&(\lambda\mu x_1-1+\lambda\mu,\lambda\mu x_2-1+\lambda\mu)\end{array}\)
Donc \((\lambda\mu)*(x_1,x_2)=\lambda*[\mu*(x_1,x_2)]\).
Soit un élément \((x_1,x_2)\) de \(\mathbb R^2\).
\(1*(x_1,x_2)=(1x_1-1+1,1x_2-1+1)=(x_1,x_2)\).
Axiomes liant les deux lois : double distributivité
Soient les réels \(\lambda\) et \(\mu\), et un élément \((x_1,x_2)\) de \(\mathbb R^2\).
\((\lambda+\mu)*(x_1,x_2)=((\lambda+\mu)x_1-1+\lambda+\mu,(\lambda+\mu)x_2-1+\lambda+\mu)\) et
\(\begin{array}{rll}\lambda*(x_1,x_2)+\mu*(x_1,x_2)&=&(\lambda x_1-1+\lambda,\lambda x_2-1+\lambda)+(\mu x_1-1+\mu,\mu x_2-1+\mu)\\&=&(\lambda x_1-1+\lambda+\mu x_1-1+\mu+1,\lambda x_2-1+\lambda+\mu x_2-1+\mu+1)\\&=&((\lambda+\mu)x_1-1+\lambda+\mu,(\lambda+\mu)x_2-1+\lambda+\mu)\end{array}\)
Donc \((\lambda+\mu)*(x_1,x_2)=\lambda*(x_1,x_2)+\mu*(x_1,x_2)\).
Soient le réel \(\lambda\) et deux éléments \((x_1,x_2)\) et \((y_1,y_2)\) de \(\mathbb R^2\).
\(\begin{array}{rll}\lambda*[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)]&=&\lambda*(x_1+y_1+1,x_2+y_2+1)\\&=&(\lambda(x_1+y_1+1)-1+\lambda,\lambda(x_2+y_2+1)-1+\lambda)\end{array}\) et
\(\begin{array}{rll}\lambda*(x_1,x_2)+\lambda*(y_1,y_2)&=&(\lambda x_1-1+\lambda,\lambda x_2-1+\lambda)+(\lambda y_1-1+\lambda,\lambda y_2-1+\lambda)\\&=&(\lambda x_1-1+\lambda+\lambda y_1-1+\lambda+1,\lambda x_2-1+\lambda+\lambda y_2-1+\lambda+1)\\&=&(\lambda(x_1+y_1+1)-1+\lambda,\lambda(x_2+y_2+1)-1+\lambda)\end{array}\)
Donc \(\lambda*[(x_1,x_2)+(y_1,y_2)]=\lambda*(x_1,x_2)+\lambda*(y_1,y_2)\).
Ainsi les huit axiomes sont satisfaits et \((\mathbb R^2,\bot,*)\) est un \(\mathbb R\)-espace vectoriel.