Combinaisons linéaires dans un espace vectoriel général

Partie

Question

Soient \(E\) un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel, \(V_1\), \(V_2\) et \(V_3\) trois vecteurs de \(E\).

On définit trois autres vecteurs de \(E\) de la façon suivante :

\(W_1=V_2+V_3\), \(W_2=V_3+V_1\) et \(W_3=V_1+V_2\)

Soit \(u\) un vecteur de \(E\) combinaison linéaire des vecteurs \(V_1\), \(V_2\) et \(V_3\).

Montrer que \(u\) est combinaison linéaire des vecteurs \(W_1\), \(W_2\) et \(W_3\).

Aide simple

Traiter les égalités \(\left\{\begin{array}{rcrcrcr}V_1&+&V_2&&&=&W_3\\&&V_2&+&V_3&=&W_1\\V_1&&&+&V_3&=&W_2\end{array}\right.\)

comme un système linéaire par la méthode du pivot.

Aide méthodologique

Les vecteurs \(W_i\) sont donnés comme combinaisons linéaires des vecteurs \(V_j\). On cherche à exprimer les vecteurs \(V_j\) comme combinaisons linéaires des vecteurs \(W_i\).

Solution détaillée

\(\left\{\begin{array}{rcrcrcr}V_1&+&V_2&&&=&W_3\\V_1&&&+&V_3&=&W_2\\&&V_2&+&V_3&=&W_1\end{array}\right.\)

donc \(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcrr}V_1&+&V_2&&&=&W_3&&&\\&-&V_2&+&V_3&=&W_2&-&W_3&L_2\leftarrow L_2-L_1\\&&V_2&+&V_3&=&W_1&&&\end{array}\right.\)

d'où \(\left\{\begin{array}{rcrcrccr}V_1&+&V_2&&&=&W_3&\\&-&V_2&+&V_3&=&W_2-W_3&\\&&&&2V_3&=&W_1+W_2-W_3&L_3\leftarrow L_3+L_2\end{array}\right.\)

On obtient alors :

\(\left\{\begin{array}{ccc}V_3&=&\displaystyle{\frac{1}{2}W_1+\frac{1}{2}W_2-\frac{1}{2}W_3}\\\\V_2&=&\displaystyle{\frac{1}{2}W_1-\frac{1}{2}W_2+\frac{1}{2}W_3}\\\\V_1&=&\displaystyle{-\frac{1}{2}W_1+\frac{1}{2}W_2+\frac{1}{2}W_3}\end{array}\right.\)

Soit \(u\) une combinaison linéaire des vecteurs \(V_1\), \(V_2\) et \(V_3\), alors il existe des réels \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\alpha_3\)

tels que \(u=\alpha_1V_1+\alpha_2V_2+\alpha_3V_3\),

d'où \(\displaystyle{u=\left(-\frac{1}{2}\alpha_1+\frac{1}{2}\alpha_2+\frac{1}{2}\alpha_3\right)W_1+\left(\frac{1}{2}\alpha_1-\frac{1}{2}\alpha_2+\frac{1}{2}\alpha_3\right)W_2+\left(\frac{1}{2}\alpha_1+\frac{1}{2}\alpha_2-\frac{1}{2}\alpha_3\right)W_3}\).

Nous venons de démontrer que toute combinaison linéaire des vecteurs \(V_1\), \(V_2\) et \(V_3\) est une combinaison linéaire des vecteurs \(W_1\), \(W_2\) et \(W_3\).