1. Par définition : .

  2. Le triplet vérifie bien l'égalité . C'est donc un élément de . est donc non vide.

    Remarque :

    Pour montrer que est non vide on aurait pu choisir un autre triplet , par exemple le triplet . Mais on sait que si est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel , doit nécessairement contenir le vecteur nul de . Il est donc plus simple de vérifier que le vecteur nul de appartient à . Si ce n'est pas le cas on peut affirmer que n'est pas un sous-espace vectoriel de .

  3. Soient et deux éléments de . On a donc :

    et .

    Le triplet vérifie bien la condition d'appartenance à . est donc stable pour l'addition.

  4. Soient un réel et un triplet de . On a donc .

    appartient donc à . est stable pour la multiplication par un scalaire.

Conclusion :

, étant une partie non vide de , stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire, est un sous-espace vectoriel de .