a. Par définition .

b. Le conjugué de est . Le couple appartient donc à . est donc non vide.

c. Soient et deux éléments de .

On a donc et  : .

On utilise la propriété suivante :

Propriété

Le conjugué de la somme de 2 nombres complexes est égal à la somme des conjugués de ces 2 nombres.

On a donc .

Le couple appartient donc à . est stable pour l'addition.

d.

  1. On considère ici espace vectoriel sur \mathbb C.

    Soient appartenant à et un élément de . avec .

    Si n'est pas réel . Pour montrer que n'est pas stable pour la multiplication par un scalaire, il suffit de donner un contre-exemple :

    , , le couple n'appartient donc pas à .

    n'est donc pas stable pour la multiplication par un scalaire.

    n'est pas un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel .

  2. On considère maintenant espace vectoriel sur .

    Soient un réel et un élément de . avec .

    En effet un nombre réel est égal à son conjugué. Le vecteur appartient donc à et est donc stable pour la multiplication par un scalaire.

    On peut donc conclure que est un sous-espace vectoriel du vectoriel .