L'ensemble est inclus dans l'ensemble des fonctions de dans , noté . Cet ensemble muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel. Pour montrer que est un espace vectoriel il suffit de montrer que est un sous-espace vectoriel de .

  1. Le vecteur nul de est la fonction nulle. C'est la fonction qui à tout réel associe . C'est une application deux fois dérivable sur et elle est solution de l'équation différentielle . La fonction nulle appartient à . L'ensemble est donc non vide.

  2. Soient et deux éléments de , et deux réels.

    Les fonctions et appartiennent à , elles sont donc deux fois dérivables sur et vérifient :

    On pose . La fonction est deux fois dérivable sur (théorème sur les fonctions dérivables). De plus

    La fonction est donc deux fois dérivable sur et est solution de l'équation différentielle : elle appartient donc à .

    L'ensemble est donc stable par combinaison linéaire.

Conclusion :

L'ensemble est une partie non vide de stable par combinaison linéaire.

C'est donc un sous-espace vectoriel de . C'est donc un espace vectoriel.