1. L'ensemble est inclus dans l'ensemble des suites réelles. Cet ensemble muni de l'addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel.

    Pour montrer que est un espace vectoriel il suffit donc de montrer que est un sous-espace vectoriel de .

  2. Le vecteur nul de est la suite nulle : c'est-à-dire la suite telle que, pour tout entier , . Cette suite vérifie bien la relation de récurrence qui caractérise les éléments de car, pour tout entier ,

    La suite nulle appartient à . L'ensemble est donc non vide.

  3. Soient et deux éléments de et et deux réels.

    La suite appartient à . Elle vérifie donc :

    La suite appartient à . Elle vérifie donc :

    On pose . On a :

    La suite vérifie bien la relation de récurrence qui caractérise les éléments de car, pour tout entier ,

    Elle appartient donc à . L'ensemble est donc stable par combinaison linéaire.

Conclusion :

L'ensemble est une partie non vide de stable par combinaison linéaire.

C'est donc un sous-espace vectoriel de et donc un espace vectoriel.