1. Le vecteur nul de est la suite nulle : c'est-à-dire la suite telle que, pour tout entier , . C'est une suite géométrique de premier terme égal à et de raison , pouvant être pris quelconque.

    La suite nulle appartient donc à l'ensemble . L'ensemble est donc non vide.

  2. Soient et deux éléments de .

    La suite appartient à . C'est donc une suite géométrique. Soit sa raison.

    On a alors :

    La suite appartient à . C'est donc une suite géométrique. Soit sa raison.

    On a alors :

    On pose . On a alors .

    Si , l'égalité précédente ne permet pas de conclure que la suite est une suite géométrique. On cherche alors un contre-exemple :

    Soit la suite géométrique de premier terme égal à et de raison .

    On a : .

    Soit la suite géométrique de premier terme égal à et de raison .

    On a : .

    On pose . Alors .

    On a alors , , .

    Alors, .

    La suite n'est donc pas une suite géométrique. Elle n'appartient donc pas à l'ensemble . l'ensemble n'est donc pas stable pour l'addition.

Conclusion :

L'ensemble , n'étant pas stable pour l'addition, n'est donc pas un sous-espace vectoriel de .