Pour montrer qu'une partie d'un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de , on peut :

  • ou bien utiliser le théorème suivant :

Théorème

Soit un vectoriel et une partie de , est un sous-espace vectoriel de si et seulement si

  1. est non vide

  2. est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire.

  • ou bien montrer que la partie est le sous-espace vectoriel engendré par des vecteurs de , c'est-à-dire montrer que la partie est l'ensemble des combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs de .

  • ou bien montrer que la partie est l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de et utiliser le théorème suivant :

Théorème

L'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de .

Le choix de la méthode dépend bien sûr de la façon dont est définie la partie .