1. Par hypothèse les trois réels , et ne sont pas tous nuls. L'un au moins d'entre eux est donc différent de zéro. On peut donc supposer que est différent de zéro.

Un triplet de appartient à si et seulement si c'est-à-dire si et seulement si .

Donc est élément de si et seulement peut s'écrire ,

c'est-à-dire .

L'ensemble est donc l'ensemble des combinaisons linéaires des triplets et .

C'est donc le sous-espace vectoriel engendré par ces deux triplets.

C'est donc un sous-espace vectoriel de .

Remarque

Pour montrer que est un sous-espace vectoriel de on aurait pu aussi utiliser le premier théorème cité dans la méthodologie, la méthode choisie ici a l'avantage d'être plus rapide et de donner un renseignement supplémentaire sur .

2. Le carré d'un nombre réel est un nombre réel positif ou nul.

On a donc : et .

Un triplet de appartient donc à si et seulement si et .

Soient et les ensembles définis par :

et

L'ensemble est égal à l'intersection des ensembles et . D'après la question 1, et sont des sous-espaces vectoriels de .

D'après le théorème suivant :

Théorème

L'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de .

On peut conclure que est un sous-espace vectoriel de .