Soit la proposition et la proposition .

  • Montrons que entraîne .

    Comme il est toujours vrai que est contenu dans , il suffit de montrer que est contenu dans .

    Soit donc un élément de : et .

    Comme , appartient à , donc appartient aussi à , donc appartient à .

  • Montrons que entraîne .

    Soit appartenant à , alors appartient à et comme , appartient à .

Remarque

autre solution : étant le plus petit sous-espace vectoriel contenant et , il ne peut être égal à que si et seulement si est le plus petit sous-espace vectoriel contenant et , c'est-à-dire que si et seulement si contient .