1. On va se servir de la propriété caractéristique suivante :

Propriété

Deux sous-espaces vectoriels et d'un vectoriel sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de et d'un élément de .

Soit , et cherchons appartenant à et appartenant à tels que .

or .

Ceci prouve, pour tout vecteur de , l'existence de appartenant à

et de appartenant à tels que , et l'unicité de ce choix.

2. Dans ce cas, puisque le résultat n'est pas donné, il est plus facile de commencer par déterminer l'intersection des deux sous-espaces vectoriels et de se servir de la propriété caractéristique suivante :

Propriété

Deux sous-espaces vectoriels et d'un vectoriel sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de si et seulement si et .

Soit un élément de , donc appartient à et appartient à , ce qui équivaut à :

et , donc donc .

Cherchons ensuite si .

Soit , et cherchons appartenant à et appartenant à tels que .

or .

Ceci prouve, pour tout vecteur de , l'existence de appartenant à

et de appartenant à tels que , (on remarque ici aussi l'unicité de ce choix).

Remarque

et sont tous deux des supplémentaires de . Ceci est un exemple de la non unicité du supplémentaire d'un sous-espace vectoriel donné.

3. Dans ce cas aussi, on commence par regarder l'intersection de et de .

Soit un élément de , donc appartient à et appartient à , ce qui équivaut à :

et , donc et .

Par exemple l'élément appartient à . Les sous-espaces et ne sont pas supplémentaires.

Remarque

On peut aussi constater, au lieu de déterminer , que le vecteur , non nul, appartient à et à , cela suffit pour prouver que l'intersection de et de n'est pas réduite au vecteur nul.