Soit la proposition :

Proposition : Proposition (P)

Tout élément de s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de  .

et soit la proposition :

Proposition : Proposition (Q)

L'élément s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de .

  • Condition nécessaire :

    On a bien car est un élément particulier de .

  • Condition suffisante :

    Pour montrer que , considérons un élément de . Si s'écrit de deux manières comme la somme d'éléments de :

    où pour tout entier , , appartient à et

    où pour tout entier , , appartient à , alors

    or pour tout entier , , appartient à , et d'après l'hypothèse , admet la décomposition unique : , donc pour tout entier , , .

Conclusion : les propositions et sont bien équivalentes.