Supposons que la famille , soit génératrice de .

Montrons que la famille , est génératrice de .

En effet : soit un vecteur quelconque de . Alors est combinaison linéaire de et .

Donc il existe deux scalaires et tels que .

On en déduit l'égalité . Cette dernière égalité exprime que le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs et .

Conclusion : la famille , est génératrice de .

Avant d'établir la condition nécessaire remarquons que et

Supposons que la famille , soit génératrice de .

Montrons que la famille , est génératrice de .

En effet : soit un vecteur quelconque de , alors est combinaison linéaire de et donc il existe deux scalaires et tels que , on en déduit l'égalité

Cette égalité exprime que le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs , .

Conclusion : la famille , est génératrice de .