1. Soit un élément de , alors il existe un élément de et un élément de tels que . étant une famille génératrice de , est combinaison linéaire d'éléments de , de même étant une famille génératrice de , est combinaison linéaire d'éléments de , ainsi il existe des scalaires : , des éléments de : et des éléments de : tels que et .

On en déduit .

Or les et les sont des éléments de la réunion de et de , ainsi s'écrit comme combinaison linéaire d'éléments de .

Donc est une partie génératrice du sous-espace vectoriel .

2. Pour la réponse est non.

Soit , alors et .

n'est pas engendré par l'unique vecteur , par exemple n'est pas combinaison linéaire de .

Remarque

On pourra vérifier que est une partie génératrice de .

3. Pour la réponse est encore non. Pour le démontrer, on va construire un contre-exemple :

Soit , , , alors est une partie génératrice de car tout élément de s'écrit : . De même est une partie génératrice de car tout élément de s'écrit : .

Or n'est pas une partie génératrice de , par exemple n'est pas combinaison linéaire de .

Ainsi, même si elle n'est pas vide, l'intersection de deux parties génératrices n'est pas en général une partie génératrice de l'intersection.