1. On cherche les couples de qui vérifient l'égalité .

    .

    Chercher les couples de qui vérifient l'égalité revient à résoudre dans le système suivant :

    Le système admet donc une infinité de solutions : ce sont tous les couples tels que

    Par exemple, si on choisit , le couple est solution de , on a donc

    On a trouvé une combinaison linéaire des deux vecteurs et qui est égale à avec des coefficients non tous nuls.

    On peut aussi écrire .

    On peut donc conclure que la partie est une partie liée du -espace vectoriel .

  2. En procédant comme dans le 1. on montre que chercher les couples de

    qui vérifient l'égalité revient à résoudre dans le système suivant

    Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

    Les nombres et étant réels, le système est donc équivalent au système suivant :

    Le couple est donc l'unique solution du système .

    La partie est donc une partie libre du -espace vectoriel .