Soit la propriété

Propriété : Propriété P

Les trois réels , , sont deux à deux distincts.

Et la propriété

Propriété : Propriété Q

La partie est une partie libre.

Il s'agit de montrer l'équivalence .

Montrons d'abord l'implication .

Cela revient aussi à montrer l'implication .

Si les trois réels , , ne sont pas deux à deux distincts, deux au moins parmi ces trois réels sont égaux. Deux au moins des trois fonctions , , sont alors égales et la partie est donc une partie liée.

On a donc démontré l'implication et donc l'implication .

La condition est donc une condition nécessaire pour avoir la condition , c'est-à-dire qu'il est nécessaire d'avoir , , deux à deux distincts pour que la partie soit libre.

Montrons maintenant l'implication .

On se place donc dans l'hypothèse où les trois réels , , sont deux à deux distincts : on peut supposer que .

Pour montrer que la partie est une partie libre, on considère trois réels , , tels que .

On a alors, pour tout réel ,  ; pour tout réel , étant différent de zéro, on peut diviser par .

D'où, pour tout réel , .

Donc la fonction est la fonction nulle,

et donc .

Or car et . On a donc .

On a donc pour tout réel , .

En divisant par , on obtient de la même façon .

D'où, pour tout réel , et donc .

On a donc démontré que, pour tout triplet de , l'égalité implique .

La partie est donc une partie libre.

On a donc démontré l'implication . La condition est donc une condition suffisante pour avoir la condition , c'est-à-dire, la condition " , , sont deux à deux distincts" est une condition suffisante pour que la partie soit libre.