1. On note , , , on démontre que est une famille génératrice de .

    Soit un vecteur quelconque de , étant une base de , est une combinaison linéaire des vecteurs , , donc il existe des réels , , tels que .

    On cherche des réels , , vérifiant .

    Alors en remplaçant dans , et par leurs valeurs et en utilisant les règles de calcul dans les espaces vectoriels on obtient :

    La décomposition sur une base est unique, en comparant et on obtient le système :

    qui a pour solution unique

    Ceci démontre que, pour tout vecteur de , il existe un triplet unique de tel que .

    Donc, en appliquant le théorème fondamental des bases, est une base de .

  2. En démontrant que est une base de , on a prouvé que si alors

    Les coefficients de ', , sont les coordonnées de dans la base .