1. La partie n'est pas génératrice car par exemple le vecteur de n'est pas combinaison linéaire de c'est-à-dire de la forme , nombre complexe.

    Donc ne détermine pas une base de .

  2. La partie n'est pas libre car .

    Donc ne détermine pas une base de .

  3. On se pose la question : est-elle libre ?

    Soient et des nombres complexes vérifiant : alors et satisfont au système :

    d'où l'on tire immédiatement puis . Donc la partie est libre.

    On se pose alors la question : est-elle génératrice ?

    Soit un vecteur quelconque de , est combinaison linéaire d'éléments de si et seulement si il existe des nombres complexes et tels que .

    Cela revient à trouver des solutions au système :

    système ayant pour solution : .

    Donc la partie est génératrice.

    Conclusion : détermine une base de .

  4. La partie n'est pas libre, en effet .

    Donc ne détermine pas une base de .