1. Montrons que est une famille libre :

    Soient des réels , , vérifiant , donc pour tout réel ,

    En particulier pour , ,

    et pour , ,

    et pour , ,

    on obtient alors , et .

    Ceci démontre que est une partie libre.

    On sait que , et est la base de référence de .

    De plus , et .

    Donc toute combinaison linéaire de est aussi combinaison linéaire de .

    Ceci démontre que est une partie génératrice de .

    On peut alors conclure que est une base de .

  2. On cherche des réels , et vérifiant :

    donc pour tout réel , .

    Il suffit que soit solution du système :

    qui a pour solution , , .

    Ainsi les coordonnées de dans la base sont , , .

  3. Une fonction polynôme est élément de si et seulement si

    ce qui équivaut à donc .

    Ainsi est l'ensemble des combinaisons linéaires de et , c'est donc le sous-espace vectoriel engendré par et .

    Enfin la famille , sous-famille d'une base donc d'une partie libre, est aussi libre.

    Conclusion : est une base de .