Soit un vecteur de , il se décompose dans la base ,

donc il existe des nombres complexes satisfaisant à l'égalité : .

Chaque scalaire s'écrit avec et nombres réels

donc on obtient ainsi est une combinaison linéaire à coefficients réels des vecteurs .

La famille est une famille génératrice finie du vectoriel donc est un vectoriel de type fini.

Vérifions que la famille trouvée est aussi libre dans le vectoriel :

soient nombres réels tels que

alors .

Cette relation est une combinaison linéaire à coefficients complexes de vecteurs linéairement indépendants dans le vectoriel donc tous les coefficients sont nuls, on obtient, pour tout entier compris entre et , d'où et d'après l'unicité de l'écriture d'un nombre complexe en partie réelle et partie imaginaire.

La famille étant libre et génératrice, est une base du vectoriel .