La dimension du vectoriel étant égale à deux et la partie contenant deux vecteurs, le couple est une base du vectoriel si et seulement si est une partie libre de cet espace vectoriel.

On cherche donc les nombres complexes pour lesquels est une partie libre du -espace vectoriel .

On cherche les réels et tels que .

Pour tout nombre complexe il existe un couple unique de tel que .

L'égalité s'écrit donc : ou aussi .

étant une base du vectoriel , les couples de vérifiant sont donc les solutions du système :

On cherche les couples de pour lesquels ce système, d'inconnue , a le couple pour seule solution.

On sait que l'on doit avoir car est une condition nécessaire pour que soit libre.

Le système a donc le couple pour unique solution si et seulement si et .

Le nombre complexe s'écrit .

est donc une base du vectoriel si et seulement si n'est ni réel ni imaginaire pur.