Pour tout élément de , il existe deux réels et tels que pour tout réel ,

En utilisant la formule , l'égalité s'écrit

Soient et les fonctions définies par : et .

Une fonction appartient donc à si et seulement si il existe deux réels et tels que :

Tout élément de s'écrit donc comme combinaison linéaire des fonctions et , l'ensemble est donc inclus dans le sous-espace vectoriel de , qui est engendré par les fonctions et .

On essaie de démontrer l'inclusion dans l'autre sens.

Soit un élément de . Il existe donc deux réels et tels que .

Peut-on trouver deux réels et tels que et ?

  • Si alors et réel quelconque conviennent.

  • Si on considère le nombre complexe non nul , tel que .

    On sait qu'il existe un réel positif et un réel tels que

    (écriture trigonométrique d'un nombre complexe non nul, et est déterminé à près par et ).

    Il existe donc deux réels et tels que et .

Pour tout élément de il existe donc deux réels et tels que .

(Le couple n'est pas unique : si le couple convient, les couples et conviennent aussi)

L'ensemble est donc inclus dans l'ensemble .

L'ensemble est donc le sous-espace vectoriel de , engendré par les fonctions et .

C'est donc un espace vectoriel.

On cherche maintenant une base de cet espace vectoriel.

La partie est une partie génératrice de . Est-elle libre ?

Soient deux réels et tels que .

Pour tout réel , c'est-à-dire .

Si , on obtient et si , on obtient .

L'égalité n'est vraie que lorsque .

La partie est donc libre.

On a trouvé une partie libre et génératrice de formée de deux éléments.

La dimension de est donc égale à deux.

Remarque

Dans cet exercice on a montré le résultat suivant :

si, pour tout réel , alors peut s'écrire aussi sous la forme . et , lorsque est positif, sont appelés amplitude et déphasage de .