En utilisant le résultat suivant :

Soient espaces vectoriels de type fini sur un même corps .

Alors

on obtient .

On cherche maintenant une base du -espace vectoriel .

Soit un élément de .

est une base du vectoriel , donc pour tout entier , compris entre et , il existe un couple de , tel que .

On a alors d'où

est une partie génératrice du -espace vectoriel .

Elle contient vecteurs et , elle détermine donc une base de cet espace vectoriel.

Si le résultat sur la dimension n'était pas connu, on pourrait démontrer que la partie génératrice trouvée est une partie libre. On obtiendrait ainsi une partie libre et génératrice du vectoriel , déterminant donc une base et la dimension du vectoriel .