1. Le vecteur de appartient à si et seulement si , donc un élément de appartient à si et seulement si il existe un réel tel que , donc si et seulement si est colinéaire au vecteur .

    Donc est une base de et .

    Le vecteur de appartient à si et seulement si , donc un élément de appartient à si et seulement si il existe des réels et tels que ,

    ce qui équivaut à .

    Soient et , les vecteurs et constituent une famille génératrice de , ils ne sont pas colinéaires donc ils déterminent une base de , d'où .

  2. Soit un élément appartenant à , donc les composantes , et vérifient à la fois et , donc , d'où .

    Donc la somme est directe, d'où .

    Comme on a et , on peut conclure que

    et comme la somme de et est directe, et sont bien supplémentaires.