1. On vérifie que est contenu dans , pour cela il suffit de vérifier que et sont dans puisque est le plus petit sous-espace vectoriel contenant et (on peut dire aussi que tout autre élément de est une combinaison linéaire de et donc appartient à tout sous-espace vectoriel contenant et ).

    Le vecteur appartient à si et seulement si il existe deux réels et tels que , c'est-à-dire , ce qui équivaut à .

    et vérifient bien cette égalité donc appartient à .

    Le vecteur appartient à si et seulement si il existe deux réels et tels que , c'est-à-dire ,

    ce qui équivaut à .

    et vérifient bien cette égalité donc appartient à .

    Donc est bien contenu dans .

    On étudie les dimensions de et de .

    Les vecteurs et sont non colinéaires, donc est une base de ; de même est une base de , ceci prouve que et ont la même dimension (égale à ), donc d'après le résultat suivant : "deux sous-espaces sont égaux si et seulement si l'un est contenu dans l'autre et leurs dimensions sont égales", on peut conclure que et sont égaux.

  2. De même est de dimension , il suffit donc de vérifier si est contenu ou non dans pour savoir si et sont égaux.

    Le vecteur appartient à si et seulement si il existe deux réels et tels que , c'est-à-dire , ce qui équivaut à .

    L'égalité des premières et dernières composantes entraîne et , ce qui est impossible, donc n'appartient pas à .

    Les sous-espaces et ne sont pas égaux.

  3. D'après le cours, la réunion d'une partie génératrice de et d'une partie génératrice de est une partie génératrice de , admet donc comme partie génératrice. On cherche si cette partie est libre.

    Chercher les quadruplets de qui vérifient l'égalité , revient à résoudre un système .

    Résolution de  :

    Soient , , et quatre réels vérifiant l'égalité , c'est-à-dire

    soit

    Le quadruplet est solution du système suivant :

    équivalent à

    équivalent à

    équivalent à

    D'où : , et .

    L'ensemble des solutions du système est l'ensemble des quadruplets .

    Les quadruplets de qui vérifient l'égalité sont ceux qui vérifient les conditions , et .

    En particulier pour , on a la relation : ; la partie n'est pas libre.

    Il est immédiat de vérifier que la partie est libre, en effet, chercher trois réels , , vérifiant l'égalité revient à chercher quatre réels , , et , avec , vérifiant l'égalité .

    L'étude précédente montre que si , cela entraîne .

    La partie est donc une partie libre maximale extraite de la partie génératrice de , donc est une base de , ainsi .

    Puisque la dimension de est , le sous-espace n'est pas égal à , donc et ne sont pas des sous-espaces supplémentaires.

    De plus la relation entraîne : .