On cherche une base de .

Pour cela on caractérise les éléments de : . Or appartient à si et seulement si : .

De plus, si et seulement si est nul.

D'où .

En considérant la base canonique de : , , ,

on peut donc écrire : .

La partie engendre donc .

Elle est libre car elle est contenue dans la partie libre , donc est une base de . D'où .

De même, on caractérise les éléments de : .

Or appartient à si et seulement si :

.

De plus, si et seulement si , d'où

donc

ainsi

La partie est une partie génératrice de , c'est aussi une partie libre.

Démonstration

Soient des réels vérifiant ,

cela entraîne .

La partie étant libre, cela entraîne .

Donc est une base de , d'où .

Remarque

et sont des hyperplans (en effet, , voir les ressources "Notion de base" et "Dimension d'un espace vectoriel de type fini").

On détermine la dimension de . On a les inclusions suivantes : .

D'où .

Or le vecteur , qui appartient à , donc à , n'appartient pas à : en effet .

Donc contient strictement , donc .

Or et ,

la seule possibilité est donc (ce qui entraîne ).

On détermine la dimension de .

Pour cela on se sert du résultat : .

Donc .