1. Soient scalaires , vérifiant l'égalité

    Il résulte de cette égalité que

    Puisque les et sont dans ,

    le vecteur appartient à ,

    mais comme les sont dans , le vecteur appartient aussi à , donc appartient à , or , donc .

    On en déduit d'abord, (puisque est une base de ), que les , , sont tous nuls, ensuite, (puisque est une base de ), que les , , sont nuls aussi.

    Donc la partie est une partie libre de , ayant éléments.

    Or car .

    La partie étant une partie libre maximale de , détermine bien une base de .

  2. Soit le sous-espace vectoriel de engendré par la famille .

    Comme est une partie extraite de la partie libre , elle est libre, donc détermine une base de .

    Or est une partie génératrice de ; donc la somme est directe d'après la proposition suivante :

    Si est une base de et une base de , la somme des deux sous-espaces et est directe si et seulement est une base de .

    Mais d'après la question , est une base de , donc .

    est bien un supplémentaire de .

    Pour montrer que le sous-espace est bien distinct de , il suffit de remarquer que le vecteur appartient à , mais n'appartient pas à .

    En effet, si le vecteur appartenait à , le vecteur appartiendrait aussi à comme différence de deux éléments de , le vecteur , non nul, appartiendrait alors à or , ce qui est contradictoire.

  3. Dans la question , on a construit un supplémentaire de , distinct de . En choisissant un autre élément non nul de , appelé , on peut aussi construire un supplémentaire de , distinct de .

    Pour montrer que est distinct de , on utilise la même méthode que celle utilisée dans la question : le vecteur appartient à , mais n'appartient pas à .

    En effet, si le vecteur appartenait à , le vecteur appartiendrait

    aussi à comme différence de deux éléments de , ce qui est absurde puisque le vecteur , non nul, appartiendrait à et que .

    Donc des éléments distincts de permettent de construire des supplémentaires distincts de .

    Le sous-espace a une infinité d'éléments : en effet a un nombre infini d'éléments et si les scalaires et sont distincts, les vecteurs et le sont aussi car est non nul.

    On en déduit que le sous-espace a une infinité de supplémentaires.