Base extraite d'une famille génératrice d'un sous-espace de R^4
Partie
Question
Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs :
\(t=(1,1,-1,-1) , u=(2,1,0,3), v=(-1,1,-3,4)\textrm{ et }w=(3,7,-11,3)\)
En utilisant le calcul du rang de ces vecteurs, trouver une base de \(F\) déterminée par une famille extraite de \(\{t,u,v,w\}\).
Aide méthodologique
Rechercher le rang des vecteurs \(t, u, v, w\).
En déduire d'éventuelles relations de liaison et la dimension de \(F\).
Solution détaillée
Recherchons tout d'abord le rang du système \(\{t,u,v,w\}\) par la méthode exposée dans le cours.
\(\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}&&&t&=&t_1&=&(&1&,&1&,&-1&,&-1&)\\&u&-&2t&=&u_1&=&(&0&,&-1&,&2&,&5&)\\&v&+&t&=&v_1&=&(&0&,&2&,&-4&,&3&)\\&w&-&3t&=&w_1&=&(&0&,&4&,&-8&,&6&)\end{array}\right.\)
Alors \(rg(t,u,v,w)=1+rg(u_1,v_1,w_1)\).
De plus, \(w_1=2v_1\) donc \(rg(u_1,v_1,w_1)=rg(u_1,v_1)\).
On recommence avec \(u_1\) et \(v_1\)
\(\left\{\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrr}&&&u_1&=&u_2&=&(&0&,&-1&,&2&,&5&)\\&v_1&+&2u_1&=&v_2&=&(&0&,&0&,&0&,&13&)\end{array}\right.\)
Alors \(rg(u_1,v_1)=1+rg(v_2)=2\) d'où \(rg(t,u,v,w)=3\) et \(\dim F=3\).
De plus, de la relation \(w_1=2v_1\), nous tirons \(w-3t=2v+2t\) donc \(w=5t+2v\).
Ainsi \(\{t,u,v\}\) est une partie génératrice de l'espace vectoriel \(F\). Or \(\dim(F)=3\).
D'où \((t,u,v)\) est une base de \(F\).