Soient et deux éléments de , on compare et et :

Or, d'après la propriété de distributivité de la loi sur la loi dans ,

D'où l'égalité : .

Soient un élément de , et un élément de , on compare et :

Or d'après les propriétés de la loi et de la multiplication par un scalaire dans ,

D'où l'égalité : .

L'application est bien une application linéaire, c'est un endomorphisme de :

il appartient à .