1. L'application est la symétrie par rapport à la droite de direction la droite .

2. Soient deux scalaires et deux vecteurs de ; les sous-espaces et étant supplémentaires, et se décomposent de manière unique comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de : et .

D'où .

et car ce sont des sous-espaces vectoriels de .On compare et :

L'application est donc linéaire.

Remarque

On pouvait aussi montrer que si on appelle la projection sur parallèlement à et la projection sur parallèlement à , on a . Or et sont des applications linéaires (voir la ressource de cours) donc est linéaire.

3. Soit un vecteur de . Il s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de : . On calcule :

D'où .

L'égalité montre que admet une application réciproque ( ) ; l'application est donc bijective et sa bijection réciproque est (on dit que est involutive).