1. Par définition est l'ensemble des vecteurs de dont l'image par est nulle, c'est donc l'ensemble des tels que , donc tels que . C'est donc l'ensemble des triplets dont les trois composantes sont égales.

    On obtient : .

    Donc est le sous-espace vectoriel de engendré par le vecteur .

  2. D'après la caractérisation des applications linéaires injectives, une application linéaire est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul. Donc d'après la première question, l'application n'est pas injective.

  3. On démontre que est surjective, c'est-à-dire qu'on démontre que tout élément de admet un antécédent par :

    Soit un élément de , il s'agit de trouver un élément de dont l'image par soit , donc tel que . Cela revient à résoudre le système suivant :

    qui est équivalent à :

    Donc admet comme antécédent n'importe quel vecteur de la forme .

    Par exemple pour , on obtient .

Remarque

L'ensemble des antécédents du vecteur (a,b) est l'ensemble :