1. Le sous-espace est l'ensemble des fonctions polynômes qui s'annulent en , et dont la fonction dérivée s'annule en .

    Soit un élément de : il existe des nombres réels tels que pour tout réel ,

    on ait .

    Cela entraîne , donc appartient à si et seulement si et , donc si et seulement si les réels vérifient le système :

    équivalent au système

    Donc .

    est le sous-espace vectoriel de engendré par la fonction .

  2. L'application est surjective si et seulement si tout élément de est l'image par d'une fonction polynôme élément de .

    Soit donc un couple de réels.

    Le vecteur est l'image d'une fonction polynôme telle que si et seulement si les réels vérifient le système :

    équivalent au système

    En choisissant par exemple , est l'image de la fonction polynôme

    telle que .

    L'application est bien surjective.

Remarque

Les antécédents du vecteur sont toutes les fonctions polynômes telles que

donc l'ensemble des antécédents du vecteur est l'ensemble .