Puisque l'application n'est pas l'application nulle, il existe un vecteur de , dont l'image par est un scalaire non nul. Or tout scalaire de est proportionnel à , en effet ,

donc car est linéaire.

Ceci entraîne bien que est surjective.

Remarque

On pouvait dire aussi que l'image de est un sous-espace vectoriel de , et que les seuls sous-espaces vectoriels de étant {0} et , ce ne peut être {0}, puisque est non nulle.

C'est donc , donc , donc est surjective.