1. Soit un vecteur de , on cherche

    • un élément de , donc tel que ,

    • un élément de , donc tel qu'il existe un vecteur de , tel que ,

    vérifiant .

    Pour cela, on considère l'image de par . Sachant que est linéaire, on remarque que

    Or par hypothèses , d'où ,

    d'où , et donc et .

    Cette valeur de convient car le vecteur appartient au noyau de ,

    en effet (car ).

    Puisque , on constate que tout élément de est la somme de

    l'élément de et de l'élément de , donc que les vecteurs de et de cherchés, tels que , existent et sont uniques.

    Donc tout vecteur de se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément

    de et d'un élément de .

    Ceci prouve que et sont supplémentaires.

  2. Lorsque tout élément de se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément de et d'un élément de , la projection sur , parallèlement à , est l'application qui à associe .

    Ici tout vecteur de se décompose d'une manière unique comme la somme d'un élément de et d'un élément de où l'élément est égal à .

    Or l'application qui à associe , est l'application elle-même.

    Donc est la projection sur , parallèlement à .