1. Soit un entier et soit un élément de , appartenant au noyau de , c'est-à-dire .

    Comme est linéaire, , donc , soit ,

    donc appartient au noyau de .

    Ceci prouve que .

    Soit un élément de , cela entraîne qu'il existe un élément de tel que ,

    donc , alors est l'image par du vecteur donc appartient à .

    Ceci prouve que .

  2. Il existe un entier tel que .

    On montre par récurrence que pour tout entier , .

    Soit la propriété .

    On a , d'après les hypothèses de la question.

    On montre que entraîne :

    D'après la question précédente, pour , on a l'inclusion .

    On considère alors un vecteur appartenant à , donc ,

    or , donc appartient à , donc à , d'après les hypothèses de cette question.

    Donc , d'où appartient à .

    Ceci montre l'inclusion .

    On a alors , ce qui entraîne d'après l'hypothèse de récurrence ,

    , qui est la propriété .

    D'où .