1. Soit un vecteur de .

    étant une base de , il existe un quadruplet unique de

    tel que .

    L'application étant linéaire, . D'où,

    La deuxième équation et la troisième équation du système obtenu sont équivalentes. D'où

    Les deux dernières équations sont équivalentes. Donc

    est donc l'ensemble des vecteurs

    tels que

    avec et appartenant à , c'est-à-dire

    tels que

    avec et appartenant à .

    est donc le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs

    et .

    Ces deux vecteurs sont linéairement indépendants (leurs coordonnées dans la base ne sont pas proportionnelles), ils déterminent donc une base de .

  2. est une base de , l'image de est le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs .

    Connaissant la dimension du noyau de , en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de .

    Ce théorème permet en effet d'écrire : .

    On a donc .

    On considère les vecteurs et .

    Ces deux vecteurs appartiennent à et sont linéairement indépendants (leurs coordonnées dans la base ne sont pas proportionnelles). Ils déterminent donc une base de .