1. Soit un élément de .

    On résout le système obtenu par la méthode du pivot de Gauss.

    Deux cas se présentent : et .

    • Si , . Donc si .

    • Si , .

    Donc si , le noyau de est l'ensemble des triplets , appartenant à .

    C'est donc le sous-espace vectoriel de engendré par le vecteur .

  2. Soit la base canonique de . L'image de est le sous-espace vectoriel de engendré par les vecteurs .

    Connaissant la dimension du noyau de , en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de . Ce théorème permet en effet d'écrire :

    • Si , d'où a pour dimension .

      Une famille génératrice de trois vecteurs de est donc une base de .

      est donc une base de .

    • Si , la dimension de est égale à , donc la dimension de est égale à .

      Les deux premiers vecteurs sont deux vecteurs linéairement indépendants de (leurs composantes ne sont pas proportionnelles).

      Ils forment donc une base de .